navor

1. Pri kolikšni ročici povzroči sila 5N navor 3Nm,če je kot med silo in ročico 45^o?

2. S kolikšno silo ščipljejo klešče žico, kadar stiskamo ročaje klešč na razdalji 15 cm od osi s silo 500 N in so čeljusti klešč oddaljene od osi 2,1 cm?

3. Pri kolesu na vreteno je polmer vretena 20 cm, polmer kolesa pa 60 cm. Kolikšna sila je potrebna, da dvignemo iz vodnjaka čeber z 20 l vode?

4. Železen drog uporabimo kot vzvod za dvigovanje 800 N težke skale. S kolikšno silo moramo pritisniti na drog, če vzvod podpremo tako, da je konec s katerim dvigujemo skalo dolg 1,5 m, konec na katerem pritiskamo pa je dolg 3 m?

5. S 4 m dolgim železnim vzvodom hočemo dvigniti 4200 N težak voz s silo 500 N. Kje moramo vzvod podstaviti?

6. Rimska tehtnica je sestavljena iz železne palice z maso 5 kg je dolžino 50 cm. Podprta je na četrtini dolžine. Koliko je največja in najmanjša masa, ki jo lahko stehtamo, če je na daljšem koncu palice premična utež z maso 10 kg? Kje mora stati premična utež, če tehtamo najmanjšo maso, in kje, če tehtamo največjo maso? Tudi z ravnilom lahko tehtamo. 30 cm ravnilo podpremo na oznaki 5 cm. Na daljšem koncu lahko premikamo utež z maso 100 g. Koliko je največja in koliko najmanjša masa, ki jo lahko stehtamo s takšnim ravnilom, če je breme obešeno na koncu krajšega dela ravnila?

7. Rimska tehtnica je sestavljena iz železne palice z maso 3 kg in dolžino 70 cm. Podprta je na četrtini dolžine. Koliko sta največja in najmanjša masa, ki jo lahko stehtamo, če je na daljšem koncu palice premična utež z maso 10 kg? (namig: Kje mora stati premična utež, če tehtamo najmanjšo maso, in kje, če tehtamo največjo maso?)

8. Na dveh stebrih sloni 6 m dolg drog. Na razdalji 2 m od levega konca je obešeno breme 300 N. Poišči sili, ki delujeta na stebra?

9. Letev z dolžino 65 cm je podprta na konceh. S kolikšno silo pritiska na vsako podporo, če je v razdalji 25 cm od enega konca obešeno breme s težo 65 N?

10. Preko 5 m širokega potoka je napeta brv in na njej stoji 2 m od brega 750 N težak človek. S kolikšnima silama pritiska brv na bregova?

11. 100 N težak drog je v vodoravni legi podprt na tretjini svoje dolžine. Z daljšim koncem se naslanja na tehtnico. Koliko pokaže tehtnica?

12. Tram z dolžino 7 m je težak 500 N. Podprt je na konceh. S kolikšno silo pritiska na vsako oporo, če je na razdalji 3 m od enega konca obešeno 1000 N težko breme?

13. Delavca nosita na kovinskem drogu 50 l vedro polno vode. Drog je dolg 1,5 m, vedro pa je obešeno en meter stran od prvega delavca. Kolikšno silo morata premagovati nosača?

14. Na enem koncu trama z dolžino 10 m in z maso 20 kg je obešena utež za 9 kg. V kateri točki moramo tram podpreti, da bo v ravnovesju?

15. Stojalo za obleke sestavlja okrogla kovinska plošča z maso 6 kg in polmerom 15 cm in zanemarljivo lahek nosilec v obliki črke T z višino 180 cm in celotno dolžino 100 cm v vodoravni smeri. Kako težak je največ lahko plašč, ki ga obesimo prav na konec, da se stojalo ravno še ne prevrne? Najprej določi os, okrog katere se stojalo zavrti, če je preobremenjeno! Traktor vozi prečno po klancu z nagibom 30o. Kako visoko sme biti njegovo težišče, da se ravno še ne prevrne? Razdalja med zadnjima kolesoma je 120 cm. Premisli, okoli katere premice se traktor prevrne!

16. Lahka metrska palica je na konceh vodoravno obešena na vzmeteh s koeficientoma 5 N/cm in 8 N/cm. Kam moramo obesiti breme, da ostane palica vodoravna?

    Rp:

    Če smemo zanemariti maso palice, potem ugotovimo, da je rezultat neodvisen od mase uteži, ki jo obesimo na palico. Začnemo pri ravnovesju navorov. Navor na levi strani pritrdišča (obesišča) uteži mora biti enak navoru na desni strani:

    k₁xr₁ = k₂x(r - r₁)

    Uporabljene oznake: k₁ in k₂ sta koeficienta vzmeti, r₁ in r₂ sta razdalji od pritrdišča uteži do posamezne vzmeti in njuna vsota je enaka dolžini palice r₁ + r₂ = r, x pa je raztezek obeh vzmeti, ki mora biti enak, če naj bo palica vodoravna - pri tem predpostavimo, da je bila v začetku, preden smo nanjo obesili utež, tudi vodoravna!

    Izrazimo recimo razdaljo r₁ in izračunamo:

    r₁ = $${\frac{{r}}{{\frac{k_1}{k_2}+1}}}$$ = $${\frac{{2m}}{{\frac{8N/cm}{5N/cm}+1}}}$$ = 0, 77m = 77cm

    Ugotovimo, da moramo utež pritrditi 77cm od konca, kjer je vzmet s koeficientom 8N/cm.

17. Lahka, 2 m dolga palica je na konceh vodoravno obešena na vzmeteh s koeficientoma 16 N/cm in 4 N/cm. Kam moramo obesiti breme, da ostane palica vodoravna? Kaj se spremeni, če upoštevaš maso palice m = 600g?

    Rp:

    r₁ = 40cm

    Če upoštevamo še maso palice, potem imamo težave, saj se vzmeti že na začetku raztegneta. Vsekakor je rezultat odvisen od mase palice!

18. Na ravnem, homogenem drogu s težo 50 N so tri uteži. Prva z maso 10 kg je obešena na levem koncu, druga z maso 5 kg visi pol metra levo od sredine in tretja z maso 4 kg na desnem koncu. Kje je težišče sistema?Dolžina droga je 4 m.

19. Na ravnem, homogenem drogu z dolžino 3 m so obešene 3 uteži: 4 kg na levem koncu, 60 cm proti desni je utež za 5 kg in 10 kg na desnem koncu. Drog je težak 60 N. Kje je težišče sistema?

20. Lahka plošča ima obliko kvadrata s stranico 20cm. Na ogljiščih plošče so pritrjene uteži s težami 2N, 3N, 5N, 10N. Kje je težišče sistema?

    Rp:

    Ko kvader pojeciramo na eno stranico, recimo vzdolž osi X, potem dobimo daljico, ki ima na konceh teži 2N + 10N in 3N + 5N, ki sta razmaknjeni za a , zato je vzdolž te daljice težišče:

    x_t = $${\frac{{a\cdot 8N}}{{20N}}}$$ = $${\frac{{2}}{{5}}}$$a = 8cm

    Ko kvader projeciramo na drugo stranico, recimo vzdolž osi Y, potem dobimo daljico, ki ima na konceh teži 2N + 3N in 10N + 5N, ki sta razmaknjeni za a , zato je vzdolž te daljice težišče:

    y_t = $${\frac{{a\cdot 15N}}{{20N}}}$$ = $${\frac{{3}}{{4}}}$$a = 15cm

21. Lahka plošča ima obliko enakostraničnega trikotnika s stranico 20cm. Na ogljiščih plošče so pritrjene uteži s težami 2N, 3N in 5N. Kje je težišče sistema?

    Rp:

    Malo zapleteneje kot zgoraj, saj imamo v enem primeru na daljici tri masne točke.
    x_t = 11cm, y_t = 8, 6cm.

22. Tri zelo lahke letvice, dolge po 20cm, sestavimo v trikotnik. V oglišča trikotnika pritrdimo kroglice z masami 10g, 20g in 30g. Kje je težišče trikotnika?

23. Na drog, podprt v sredini, obesimo na levi strani breme 9 kg v razdalji 60 cm in breme 8 kg v razdalji 15 cm od osi. Na desni strani pa breme 11 kg v razdalji 40 cm od osi. Koliko moramo obesiti na desni strani v razdalji 30 cm od osi, da bo sistem v ravnovesju?

24. Jeklena palica ima dolžino 1 m in maso 1, 2 kg. Na eni strani je s tečajem pritrjena na omarico. Na palici je 30 cm od tečaja (kjer je os) pritrjeno breme z maso 4 kg.

    a)

    Koliko je navor teže palice?

    b)

    Koliko je navor teže bremena?

    c)

    Koliko je vsota vseh navorov na palico, če le-ta miruje??

    d)

    Kolikšne navor je potreben, da palico obdrži v ravnovesju?

    e)

    S kolikšno silo je treba držati palico na drugi strani tečaja, da bo mirovala?

    Rp:

    M_t = mg${\frac{{l}}{{2}}}$ = 6Nm, M_b = mgl = 12Nm, $\Sigma$$\vec{{M}}$ = 0, M = M_b + M_t = 18Nm, F = ${\frac{{M}}{{l}}}$ = 18N

25. Jeklena palica ima dolžino 2 m in maso 1, 5 kg. Na eni strani je s tečajem pritrjena na omarico. Na palici je 70 cm od tečaja (kjer je os) pritrjeno breme z maso 4 kg.

    a)

    Koliko je navor teže palice?

    b)

    Koliko je navor teže bremena?

    c)

    Koliko je vsota vseh navorov na palico, če le-ta miruje??

    d)

    Kolikšen navor je potreben, da palico obdrži v ravnovesju?

    e)

    S kolikšno silo je treba držati palico na drugi strani tečaja, da bo mirovala?

26. Kvader ima stranice 5  cm×4  cm×10  cm. Na vodoravni podlagi stoji na najmanjši ploskvi. Koeficient trenja med kvadrom in podlago je 0, 75. Gostota kvadra je 10, 2 kg/dm³. V kateri smeri in s kolikšno silo ga je potrebno potisniti, da se zvrne na največjo ploskev?

    Rp:

    Zanimivo, da naloga zahteva rešitev, ki ni ena sama - očitno si lahko reševalec sam izbere, v kateri točki bo potisnil kvader, v kateri smeri ga bo potisnil in potem mora samo še izračunati kolikšna je ta sila! Edino trenje med kvadrom in podlago nam omejuje izbiro točke ter smeri v kateri deluje sila. Na izbiro ima tudi os vrtenja, ki je lahko rob kvadra ali njegovo ogljišče.

    e.g:. Na sliki 15 smo se odločili, da bomo potisnili kvader v točki levo zgoraj in sicer tako, da se bo zavrtel okoli roba. In še vedno imamo precej možnosti, da si izberemo smer delovanja sile. Od obojega je odvisna velikost sile. V vsakem primeru moramo delovati s tolikšno silo, da bo njen navor vsaj tolikšen, kot je navor teže kvadra: M $\geq$ M_g!

    Če si izberemo smer navpično navzgor (sila F na sliki 15), kakor bi dvigovali kvader, če bi stal na največji ploskvi, potem lahko računamo takole:

    Fd sin$$\varphi$$ = F_g$${\frac{{d}}{{2}}}$$sin$$\varphi$$     $$\Rightarrow$$     F = $${\frac{{F_g}}{{2}}}$$

    d je prečna diagonala kvadra - torej diagonala pravokotnika, ki je prerez kvadra.

    Ker je prostornina kvadra V = abc = 200cm³ in masa kvadra m = $\varrho$V = 2, 04kg, je sila F = 10, 2N.

    Če si izberemo smer sile F₁, ki je vzporedna s podlago:

    F₁d sin($${\frac{{\pi}}{{2}}}$$ - $$\varphi$$) = F_g$${\frac{{d}}{{2}}}$$sin$$\varphi$$     $$\Rightarrow$$     F₁ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$F_gtan$$\varphi$$

    V tem primeru bo sila najmanjša, če zavrtimo kvader okoli stranice, ki je dolga 5cm, tako da je tangens kota: tan$\varphi$ = ${\frac{{4cm}}{{10cm}}}$ = 0, 4, tedaj je sila F₁ = 4, 08N.

    Če si izberemo smer sile F₂, ki je pravokotna na diagonalo:

    F₂d = F_g$${\frac{{d}}{{2}}}$$sin$$\varphi$$     $$\Rightarrow$$     F₂ $$\geq$$ $${\frac{{F_g}}{{2}}}$$sin$$\varphi$$

    Tudi v tem primeru bo sila najmanjša, če zavrtimo kvader okoli stranice, ki je dolga 5cm, tako da je sinus kota: sin$\varphi$ = ${\frac{{4cm}}{{\sqrt{(10cm)^2+(4cm)^2}}}}$ = 0, 37, tedaj je sila F₂ = 3, 79N. Uganemo lahko, da bo v tem primeru sila najmanjša!

    Slika 15: Prekucnimo kvader! Kje bomo pritisnili na kvader, v kateri smeri in s kolikšno silo?

    

    To je le nekaj primerov, kako lahko takšno nalogo rešimo.

    S tem pa ni konec težav in zapletov! Hitro ugotovimo, da se bo sila s katero moramo delovati na kvader zmanjševala, ko ga bomo prevračali. Ostane še vprašanje, ali je trenje dovolj veliko, da kvader ne bo zdrsnil ...

    Na začetku se mi je zdelo, da je takšna naloga, pri kateri ni ene same rešitve, nekako manjvredna. Med reševanjem sem mnenje spremenil. Naloga pušča dovolj možnosti, nekatere rešitve so enostavne, kot te, ki sem jih zapisal, druge bolj zapletene.

27. Kvader ima stranice 5  cm×4  cm×10  cm. Na vodoravni podlagi stoji na največji ploskvi. Koeficient trenja med kvadrom in podlago je 1, 75. Gostota kvadra je 8, 2 kg/dm³. V kateri smeri in s kolikšno silo ga je potrebno potisniti, da se zvrne na najmanjšo ploskev?

    Rp:

    Glej prejšnjo nalogo!

28. Jeklena palica ima dolžino 2m in maso 1, 5kg. Na eni strani je obešena utež z maso 2kg, na drugi strani pa utež z maso 4kg.

    a)

    Kaj je to težišče?

    b)

    Kje je težišče palice z utežema vred?

29. Če je kolo dobro centrirano in če odstranimo ventil, je težišče kolesa na njegovi osi. Masa kolesa je 2, 5kg, masa ventilčka pa 16g. Ventilček leži 30cm stran od osi. Kako daleč od osi je težišče zdaj?

30. V katerih primerih je sistem v ravnovesju? Glej sliko 16! Vse sile so enako velike. Obkroži!
    

    Slika 16: Ravnovesje I.

    

31. Katere od naslednjih četveric enako velikih sil bi lahko obdržale telo v ravnovesju? Glej sliko 17! Obkroži!

    a)

    F₁ = F₂ = F₃ = F₄

    b)

    F₁ = F₂ = F₃ = F₄

    c)

    F₁ = F₂ = F₃ = F₄

    d)

    F_g = 4N; F₁ = F₂ = 2$\sqrt{{2}}$N

    e)

    F₂ = F₃ = ${\frac{{F_1}}{{2}}}$

    Slika 17: Ravnovesje II.

    

32. Oče in sin neseta na ramah 4m dolg in 100N težak homogen drog. Na prvem krajišču droga, ki moli 1m pred očeta, je obešena utež za 300N. 1m pred zadnjim krajiščem, ki ga podpira sin, je obešena na drogu utež za 600N. Koliko nosi oče in koliko sin?

    Rp:

    F₂ = 600N F₁ = 300N l = 4m a = 1m F_g = 100N

    ravnovesje sil:

    F₁ + F₂ + F_g = F + F'

    ravnovesje navorov (gledamo v legi, kjer nosi sin):

    F₁l + $${\frac{{F_g l}}{{2}}}$$ + F₂a - F(l - a) = 0

    F = $${\frac{{F_1 l + \frac{F_g l}{2} + F_2 a}}{{l-a}}}$$ = 670N

    F' = F₁ + F₂ + F_g - F = 330N

33. Trinožno stojalo ima enako dolge noge, katerih podnožišča tvorijo enakostranični trikotnik. Noge so nagnjene 30^o proti navpičnici in so ob tleh povezane z vrvicami. S kolikšnimi silami so obremenjene noge stojala in s kolikšnimi silami so napete vrvice, če stoji stojalo na gladkih vodoravnih tleh in je na vrh stojala obešena 300 kilogramska utež?

    Rp:

    F = 3000N $\varphi$ = 30^o $\alpha$ = 60^o

    F$${\frac{{F_g}}{{3\cos\varphi}}}$$ = 1154N

    2F'cos$${\frac{{\alpha}}{{2}}}$$ = F sin$$\varphi$$

    F' = 333N

34. Kvader ima stranice 4cm, 4cm in 10cm. Koeficient trenja med kvadrom in podlago je 0, 75. Gostota kvadra je 10, 2kg/dm³. Koliko je največja strmina klanca, na katerega še lahko postavimo kvader na najmanjšo stranico, da se ne zvrne (lahko izračunaš tudi kot, če ti je lažje)?

    Rp:

    Hmmm...znova dvojni problem, saj se v nalogi skriva še drugo vprašanje. Kvader bo stal na klancu, dokler bo težišče kvadra nad osnovno ploskvijo, na kateri stoji kvader. Tedaj je kot za katerega je klanec nagnjen proti vodoravnici $\varphi$ manjši od mejnega kota $\varphi_{o}^{}$. Kadar je klanec nagnjen za menjni kot, je težišče kvadra natanko nad robom kvadra, okoli katerega se kvader prekucne. Velja da navor teže M_g drži kvader na klancu, dokler $\varphi$ $\leq$ $\varphi_{o}^{}$. Ko pa je $\varphi$ > $\varphi_{o}^{}$, M_g prekucne kvader. Kot vidimo iz geometrije problema, sta strmina pri mejnem kotu in mejni kot:

    tan$$\varphi_{o}^{}$$ = $${\frac{{4cm}}{{10cm}}}$$ = 0, 4     $$\Rightarrow$$     $$\varphi_{o}^{}$$ = 21, 8^o

    Ampak kaj pa, če kvader že prej zdrsne? Kvader zdrsne po klancu, kadar je strmina klanca večja od koeficienta trenja k_t. Pogoj za zdrs je:

    k_t < tan$$\varphi_{o}^{}$$

    V našem primeru se bo kvader prekucnil!

35. Kvader ima stranice 5cm, 10cm in 10cm. Koeficient trenja med kvadrom in podlago je 1, 75. Gostota kvadra je 8, 2kg/dm³. Koliko je največja strmina klanca, na katerega še lahko postavimo kvader na največjo stranico, da se ne zvrne (lahko izračunaš tudi kot, če ti je lažje)?

    Rp:

    Podoben problem kot zgoraj, le da je izpolnjen pogoj za zdrs. To pomeni, da se kvader ne bo prekucnil, ampak zdrsnil po klancu navzdol.

    1, 75 = k_t < tan$$\varphi_{o}^{}$$ = $${\frac{{10cm}}{{5cm}}}$$ = 2

36. Nihalo v uri je narejeno iz 1m dolge jeklene palice z maso 0, 3kg, ki ima na koncu pritrjeno medeninasto ``lečo'' z maso 1kg in s premerom 10cm. Kje je težišče nihala, če je rob ``leče'' poravnan s skrajnim koncem palice in je celotna dolžina 1, 1m?

    Rp:

    Če z x_l in x_p označim razdalji težišča leče do težišča sistema in težišča palice do težišča sistema, potem lahko zapišem ravnovesje navorov:

    m_lgx_l = m_pgx_p

    Težni pospešek lahko `pokrajšam', razdaljo x_p pa izrazim s pomočjo radija leče r in dolžine palice l: x_p = ${\frac{{l}}{{2}}}$ + r - x_p. Vstavim v ravnovesje navorov in po krajšem računu ugotovim:

    x_l = $${\frac{{m_p\left(\frac{l}{2}+r\right)}}{{m_l+m_p}}}$$ = 12, 7cm

    Ker je težišče sistema za x_l oddaljeno od težišča leče, je potem od skrajnega roba leče odaljeno za radij leče več: x_l + r = 17, 7cm, po drugi strani pa je od skrajnega roba palice oddaljeno l + r - x_p = 92, 3cm.

37. Metrska palica je sestavljena iz enako dolgega medeninastega in aliminkastega dela. Kje je težišče palice, če je gostota medenine 8400kg/m³, gostota aluminija pa 2700kg/m³?

    Rp:

    Uporabim enačbo za računanje težišča in ugotovim, da je težišče kombinirane palice oddaljeno 37, 6cm od skrajnega roba medeninastega dela in 62, 4cm od skrajnega aluminjastega dela palice.