mehanska

1. Hitrost nekega nihala se spreminja po enačbi: v(t) = 5cm/s ^. cos(1, 5s⁽ -1) ^. t). Nariši in označi kako se spreminjajo odmik hitrost in pospešek v odvisnosti od časa!

   Rp:

   Zadeve se lahko lotim takole:

   Slika 32: Graf hitrosti, odmika in pospeška v odvisnosti od časa.

   [graf hitrosti v odvisnosti od časa]

   

   [graf odmika v odvisnosti od časa]

   

   [graf pospeška v odvisnosti od časa]

   

   vem:

   v(t) = v₀ ^. cos($\omega$ ^. t)

   $\omega$-kotna hitrost-kotna frekvenca

   iz enačbe razberemo, da je $\omega$ = 1, 5s^-1 in največja hitrost v₀ = 5cm/s

   izračunamo še nihajni čas:

   t₀ = $${\frac{{2\pi}}{{\omega}}}$$ = $${\frac{{2\pi}}{{1,5s^{-1}}}}$$ = 4, 2s

   torej graf v(t) lahko narišeš brez problema. graf cosinusa je v y-osi razpotegnjen do 5, v x-osi pa raztegnjen na 1.5. Torej so hribčki in dolince malo bolj skupaj.

   graf x(t) = x₀ ^. sin($\omega$ ^. t)

   največja hitrost je: v₀ = $\omega$ ^. x₀, kjer je x₀-amplituda

   x₀ = $${\frac{{v_0}}{{\omega}}}$$ = $${\frac{{5cm/s}}{{1,5s^{-1}}}}$$ = 3, 33cm

   pospešek: a(t) = - $\omega^{2}_{}$ ^. x(t) = - $\omega^{2}_{}$ ^. x₀ ^. sin($\omega$ ^. t)

   a₀ = $$\omega^{2}_{}$$ ^. x₀ = (1, 5s^-1)^{2 .} 3, 33cm = 7, 5cm/s^-2

2. Odmik nekega nihala se spreminja po enačbi: x(t) = 8cm ^. cos((3, 5)/s ^. t). Nariši in označi kako se spreminjajo odmik hitrost in pospešek v odvisnosti od časa !

   Rp:

   rešuješ podobno kot v zgornji nadlogi :)

3. Nihalo pride iz leve v desno amplitudno lego v 0, 25s. Kolikšni so nihajni čas, frekvenca in dolžina tega matematičnega nihala?

   Rp:

   t₀ - nihajni čas

   t₀ = 2 ^. 0.25s = 0.5s - je to jasno?

   ne? to je zato, ker je nihajni čas čas, ki ga porabi nihalo da pride iz začetne lege zopet v to lego. :)

   $\nu$ - frekvenca

   $$\nu$$ = $${\frac{{1}}{{t_0}}}$$ = 2s^-1

   $$\omega^{2}_{}$$ = $${\frac{{4\cdot\pi^2}}{{t_0^2}}}$$ = $${\frac{{g}}{{l}}}$$

   = > l - dolžina nihala

   l = $${\frac{{g\cdot t_0^2}}{{4\cdot\pi^2}}}$$ = $${\frac{{10m/s^2\cdot(0,5s)^2}}{{4\cdot\pi^2}}}$$ = 0, 0633m = 6, 3cm

   :)

4. Nihalo niha harmonično z amplitudo 5cm in frekvenco 10Hz. Kolikšna sta največja hitrost in pospešek nihala? Izračunaj odmik po času 4s, če je nihalo v začetku u v ravnovesni legi!

   Rp:

   RL...ravnovesna lega

   $\nu_{{frekvenca}}^{}$ = 10Hz

   a = 5cm

   $\omega$...kotnafrekvenca = ${\frac{{2\pi}}{{t_{o}}}}$

   $\nu_{{frekvenca}}^{}$ = 10Hz pomeni da v t_o = 0.1s naredi nihalo en nihaj

   Torej je odmik on RL po 4s ====== 0 m.

   največja hitrost je v RL

   v_o = x_o ^. $\omega$

   v_o = x_o ^. ${\frac{{2\pi}}{{t_{o}}}}$

   v_o = 0.05m ^. ${\frac{{2\pi}}{{0.1s}}}$

   v_o = 3.1m/s

   največji pospešek pa je v SL

   a_o = x_o ^. $\omega^{{2}}_{}$

   a_o = x_o ^. $\left(\vphantom{\frac{2\pi}{t_{o}}}\right.$${\frac{{2\pi}}{{t_{o}}}}$$\left.\vphantom{\frac{2\pi}{t_{o}}}\right)^{{2}}_{}$

   a_o = 0.05m ^. $\left(\vphantom{\frac{2\pi}{0.1s})}\right.$${\frac{{2\pi}}{{0.1s}}}$)$\left.\vphantom{\frac{2\pi}{0.1s})}\right)^{{2}}_{}$

   a_o = 197m/s²

5. Nihalo niha harmonično z amplitudo 15 cm in frekvenco 7 Hz.

   (a)

   Kolikšna sta največja hitrost in pospešek nihala?

   (b)

   Izračunaj odmik po času 0.07 s, če je nihalo v začetku v ravnovesni legi!

   (c)

   Nariši graf odmika v odvisnosti od časa za prve 3 nihaje in ga označi; nihalo je na začetku v skrajni legi!

6. Nihalo niha harmonično z amplitudo 35 cm in frekvenco 2 Hz.

   (a)

   Kolikšna sta največja hitrost in pospešek nihala?

   (b)

   Izračunaj odmik po času 0, 4 s, če je nihalo v začetku v ravnovesni legi!

   (c)

   Nariši graf odmika v odvisnosti od časa za prve 3 nihaje in ga označi; nihalo je na začetku v ravnovesni legi!

7. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za 20cm in pustimo, da niha harmonično. Kolikšna je največja hitrost, če je nihajni čas 2s?

   Rp:

   Pri harmoničnem nihanju je največja hitrost:

   v₀ = $\omega$ ^. x₀

   ker je krožna hitrost ali krožna frekvenca:

   $\omega$ = ${\frac{{(2\pi}}{{t_0}}}$

   je tako hitrost:

   v₀ = $$\omega$$ ^. x₀ = $${\frac{{2\pi}}{{t_0}}}$$ ^. x₀ = $${\frac{{2\pi}}{{2s}}}$$ ^. 20cm = 62, 8cm/s

8. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za 30cm in pustimo da harmonično niha. Kolikšen je nihajni čas, če gre nihalo skozi ravnovesno lego s hitrostjo 13m/s?

   Rp:

   v ravnovesni legi je hitrost nihala največja in je povezana z amplitudo takole:

   v_o = $\omega$ ^. x_o ,kjer je x_o = 30cm amplituda nihanja, krožna frekvenca $\omega$ = ${\frac{{2 \pi}}{{t_o}}}$

   zato lahko zapišemo, da je hitrost:

   v_o = $${\frac{{2 \pi}}{{t_o}}}$$ ^. x_o

   odtod izračunamo nihajni čas nihala:

   t_o = $${\frac{{2\pi x_o}}{{v_o}}}$$ = $${\frac{{2\pi30cm}}{{13m/s}}}$$ = 0.145s

9. Kolikšna je dolžina sekundnega nihala? ( t_o = 1s )

   Rp:

   Ker je

   t_o = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{l}{g}}}$$

   lahko izrazimo dolžino

   l = g$$\left(\vphantom{\frac{t_o}{2\pi}}\right.$$$${\frac{{t_o}}{{2\pi}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{t_o}{2\pi}}\right)^{2}_{}$$ = 10m/s^{2 .} $$\left(\vphantom{\frac{1s}{2\pi}}\right.$$$${\frac{{1s}}{{2\pi}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{1s}{2\pi}}\right)^{2}_{}$$ = 0, 25m

   Torej je sekundno nihalo dolgo četrt metra.

   To lahko opazimo na starih stenskih urah, ki imajo dolžino nihala ravno 25cm .

10. Kolikšno utež moramo obesiti na prožno vzmet s koeficientom prožnosti 2N/cm, da niha z nihajnim časom 0, 5s?

    Rp:

    k_pr = 2N/cm = 200kg/s²

    t_o = 0.5s

    t_o = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{m}{k}}}$$

    m = t_o^{2 .} $${\frac{{k}}{{4 \pi^{2}}}}$$ = (0.5s)^{2 .} $${\frac{{200kg/s^{2}}}{{4 \pi^{2}}}}$$

    m = 1kg ...ker so podatki na eno mesto...drgač pride na kalkulator 1.2665kg

    the TOK MISLI:

    zdej grem pa spat.. jutr bom še ene par naredu...tko da se prpravte da me bote popravl.. lol

    smešn.. a kdo to bere ob petkih zvečer...damn mi je dolgcajt

11. Kolikšna mora biti dolžina matematičnega nihala, da bo nihal z nihajnim časom 2, 5s?

    Rp:

    l = 1, 58m

12. Vzmetno nihalo pride iz zgornje v spodnjo amplitudno lego v 0, 25s. Kolikšni so frekvenca, nihajni čas in masa tega nihala, če ima vzmet prožnostni koeficient 15N/m?

    Rp:

    t_o = 2 ^. 0.25s

    k_pr = 15N/m = 15kg/s²

    $$\nu$$ = $${\frac{{1}}{{t_o}}}$$ = $${\frac{{1}}{{ 0.50 s}}}$$ = 2Hz

    t_o = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{m}{k}}}$$

    m = $${\frac{{t_o^2 \cdot k}}{{4\pi^2}}}$$ = $${\frac{{(0.5s)^2 \cdot 15 {kg}/s}}{{ 4\pi^2}}}$$ = 0.095kg = 95g

13. Na 2m dolgi vrvi visi lesena klada z maso 1kg. S kolikšno hitrostjo je v klado priletel 15 gramski izstrelek, če se klada odmakne od ravnovesne lege za 24cm?

    Rp:

    l = 2m, m₁ = 1kg, m₂ = 15g = 0.015kg, x_o = 24cm = 0.24m

    $\omega$...krožna frekvenca

    Ker vemo da se gibalna količina ohranja:

    Klada miruje torej je njena hitrost enaka 0.

    $$\omega$$ = $${\frac{{2\pi}}{{t_{o}}}}$$        in        t_o = $${\frac{{2\pi}}{{\omega}}}$$

    t_o = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{l}{g}}}$$        in        $$\omega$$ = $$\sqrt{{\frac{g}{l}}}$$ = 2.2s^-1

    v_k = v_o

    v_o = x_o ^. $\omega$

    v_o = 0.24m ^. 2.2s^-1

    v_o = 0.53m/s

    ker se gibalna količna ohranja: G_z = G_k ali G₁ + G₂ = G_k je:

    0 + v₂ ^. m₂ = v_k(m₁ + m₂)

    v₂ = v_k$${\frac{{m_{1} + m_{2}}}{{m_{2}}}}$$ = 0.53m/s$${\frac{{1kg + 0.015kg}}{{0.015kg}}}$$ = 35m/s

14. Nitno nihalo z dolžino 5m niha tako, da zadeva ob čep, ki je 3m pod pritrdiščem nitke. Koliko je nihajni čas nihala? Kje mora biti čep, da bo nihajni čas 3s, in kje da bo nihajni čas 5s?

    Rp:

    Za tiste ki sem jim povzročil preglavice z prejšnjim zapisom formul: Eeee se oproščam in bom probal tisto popraviti.

    To nihanje si moramo predstavljati, kot da je sestavljeno iz dveh nihanj z različnima dolžinama vrvice.

    Nihajni čas: l₁ = 5m, s = 3m, $\rightarrow$ l₂ = l₁ - s = 2m

    t₁ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{l_1}{g}}}$$ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{5m}{10m/s^2}}}$$ = $${\frac{{2\pi}}{{\sqrt{2}s}}}$$ = 4, 44s

    t₂ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{l_2}{g}}}$$ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{2m}{10m/s^2}}}$$ = $${\frac{{2\pi}}{{\sqrt{5}s}}}$$ = 2, 81s

    t₀ = $${\frac{{t_1}}{{2}}}$$ + $${\frac{{t_2}}{{2}}}$$ = 2.22s + 1.4s = 3.62s

    nihajni čas je t₀ = 3s:

    t₀ = t₁/2 + t₂/2

    2t₀ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{d}{g}}}$$ +2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{x}{g}}}$$

    $${\frac{{t_0}}{{\pi}}}$$ = $$\sqrt{{\frac{d}{g}}}$$ + $$\sqrt{{\frac{x}{g}}}$$

    $${\frac{{x}}{{g}}}$$ = $$\left(\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right.$$$${\frac{{t_0}}{{\pi}}}$$ - $$\sqrt{{\frac{d}{g}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right)^{2}_{}$$

    x = g$$\left(\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right.$$$${\frac{{t_0}}{{\pi}}}$$ - $$\sqrt{{\frac{d}{g}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right)^{2}_{}$$ = 10m/s²$$\left(\vphantom{\frac{3s}{\pi} - \sqrt{\frac{5m}{10m/s^2}}}\right.$$$${\frac{{3s}}{{\pi}}}$$ - $$\sqrt{{\frac{5m}{10m/s^2}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{3s}{\pi} - \sqrt{\frac{5m}{10m/s^2}}}\right)^{2}_{}$$ = 0, 614m

    Torej mora biti čep 5m - 0, 614m = 4, 39m pod pritrdiščem.

    Rezultat je povsem verjeten, saj če je čep višje je nihajni čas daljši, če je pa nižje je krajši.

    Za 5s se ponovi enačba. Vendar, če ugotovite, da je maksimalni čas nihala lahko le 4.4s. Torej za 5s ne gre. Nekdo se je pošalil iz vas...hecno

    ...drugače je lažje zračunat.. po moje če ne izraziš x ampak takoj vstaviš not številke.. samo to je kao prou...

    ali

    x = g$$\left(\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right.$$$${\frac{{t_0}}{{\pi}}}$$ - $$\sqrt{{\frac{d}{g}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \sqrt{\frac{d}{g}}}\right)^{2}_{}$$ = g$$\left(\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \frac{t_1}{2\pi}}\right.$$$${\frac{{t_0}}{{\pi}}}$$ - $${\frac{{t_1}}{{2\pi}}}$$$$\left.\vphantom{\frac{t_0}{\pi} - \frac{t_1}{2\pi}}\right)^{2}_{}$$ = $${\frac{{g}}{{\pi^2}}}$$$$\left(\vphantom{t_o - \frac{t_1}{2}}\right.$$t_o - $${\frac{{t_1}}{{2}}}$$$$\left.\vphantom{t_o - \frac{t_1}{2}}\right)^{2}_{}$$

15. Nitno nihalo z maso uteži 4kg ima dolžino 6m. Iz ravnovesne lege se največ dvigne za 20cm. Koliko je nihajni čas? Koliko je amplituda odmika in koliko amplituda hitrosti? Koliko je skupna energija in koliko kinetična, ko je nihalo dvignjeno 5cm glede na ravnovesno lego ?

    Rp:

    Slika 33: Skica z označbami uporabljenimi pri računanju!

    

    m = 4kg, l = 6m, h = c = 0.2m

    t₀ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{l}{g}}}$$ = 2$$\pi$$$$\sqrt{{\frac{6m}{10m/s^2}}}$$ = 4, 9s

    najprej določimo amplitudo (glej sliko 33!): x₀² - c² = l² - b²

    x₀ = $\sqrt{{l^2 - b^2 + c^2}}$

    x₀ = $\sqrt{{(6m)^2 - (5.8m)^2 + (0.2m)^2)}}$

    x₀ = 1, 5m

    nato največjo hitrost:

    v₀ = $\omega$ ^. x₀

    v₀ = ${\frac{{2\pi}}{{t_0}}}$ ^. x₀

    v₀ = ${\frac{{2\pi}}{{4.9s}}}$ ^. 1.5m

    v₀ = 1.9m/s

    skupna energija:

    W = W₍p(max)) = m ^. g ^. h

    W_p = 4kg ^. 10m/s^{2 .} 0.2m

    W_p = 8J

    in še kinetična v izbrani legi:

    W_k = W - W_p

    W_k = W - m ^. g ^. h

    W_k = 8J - 4kg ^. 10m/s^{2 .} 0.05m

    W_k = 6J

16. Nihalo, ki niha dušeno, ima na začetku energijo 2J. Kolikšen je koeficient dušenja, če ima po 25s energijo 100mJ? Nariši kako se spreminja kinetična energija v odvisnosti od časa, če je nihajni čas 5s!

    Rp:

    W_k = W₁ = 2J S tem je mišljena maksimalna W_k, ko ima nihalo največjo hitrost.

    W₂ = 100mJ = 0, 1J

    Ker poznamo enačbo za dušeno nihanje

    v = v₀ ^. e^-$\beta$tcos($$\omega$$ ^. t),

    lahko rečemo tudi: v₀ = v₀ ^. e^-$\beta$tcos($\omega$ ^. t). Vendar pa, ko je t = 0 dobimo preprosto v₀ = v₀(cos 0 = 1 in e⁰ = 1). Torej sledi:

    W_k = ${\frac{{m\cdot v_0^2}}{{2}}}$

    2J = m ^. v₀²/2 ...Masa uteži ostaja enaka...torej jo lahko črtamo. Ob črtanju mase moramo upoštevati, da se tudi enote krajšajo.Lahko jo tudi pustite, saj se v naslednji enačbi krajša.

    v₀ = 2m/s

    Potem pa izračunamo še za energijo po 25s. In uporabimo W_k = W₂

    Za nihajni čas, ki se ne spreminja ne glede na amplitudo odmika, pogojen je namreč le s težnim pospeškom in dolžino nihala(pri nitnem nihalu), vzamemo t₀ = 5s.

    W₂ = ${\frac{{m\cdot v_0^2}}{{2}}}$

    W₂ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{m\cdot(v_0\cdot e^{-\beta t}\cdot \cos(\omega t)}\right.$$m ^. (v₀ ^. e^{-$\beta$t .} cos($$\omega$$t)$$\left.\vphantom{m\cdot(v_0\cdot e^{-\beta t}\cdot \cos(\omega t)}\right)^{2}_{}$$)

    0, 1J = $${\frac{{1}}{{2}}}$$$$\left(\vphantom{m\cdot4m^2/s^2\cdot e^{-2\beta25s}\cdot \cos^2\left(2\pi \frac{25s}{5s}\right)}\right.$$m ^. 4m²/s^{2 .} e^{-2$\beta$25s .} cos²$$\left(\vphantom{2\pi \frac{25s}{5s}}\right.$$2$$\pi$$$${\frac{{25s}}{{5s}}}$$$$\left.\vphantom{2\pi \frac{25s}{5s}}\right)$$$$\left.\vphantom{m\cdot4m^2/s^2\cdot e^{-2\beta25s}\cdot \cos^2\left(2\pi \frac{25s}{5s}\right)}\right)$$

    ...Maso ponovno črtamo. cos pa je enak ena, saj vemo da je periodičen na 2$\pi$.

    0, 05s = e^-$\beta$50s ...Za tiste , ki jim logaritmi niso povsem jasni.

    0, 05s = e^{$\beta$ .} e^-50

    ln e^$\beta$ = ${\frac{{\ln(0,05)}}{{e^{-50}}}}$

    $\beta$ = 47

    Končno rezultat.

    Pol je treba pa še narisat. Če slučajno bere to kdo, ki ima Derive ali kak programček za risanje grafov, bi ga prosil, da doda graf. Hvala!!!

    ali pa:

    W = W_oe^-2$\beta$t     $$\rightarrow$$     $${\frac{{W}}{{W_o}}}$$ = e^-2$\beta$t     $$\rightarrow$$     ln$${\frac{{W}}{{W_o}}}$$ = - 2$$\beta$$t =      $$\rightarrow$$     ln$${\frac{{W_o}}{{W}}}$$ = 2$$\beta$$t

    in za koeficient dušenja:

    $$\beta$$ = $${\frac{{1}}{{2t}}}$$ln$${\frac{{W_o}}{{W}}}$$ = $${\frac{{1}}{{t}}}$$ln$$\sqrt{{\frac{W_o}{W}}}$$

    tako je $\beta$ = 0, 06s^-1

    khm...kateri je pravi?

17. Nihalo, ki niha dušeno, ima na začetku energijo 200mJ. Kolikšen je koeficient dušenja, če ima po 5s energijo 100mJ? Nariši kako se spreminja kinetična energija v odvisnosti od časa, če je nihajni čas 5s!

    Rp:

    jaz bi takole reševal:

    Slika 34: Graf energije v odvisnosti od časa: rdeče - skupna oziroma največja kinetična energija eksponentno pada modro - kinetična energija, če je na začetku hitrost maximalna (po 5 s je kinetična energija polovica začetne)

    

    fizikalno ozadje:

    če je hitrost na začetku največja, se v odvisnosti od časa spreminja takole:

    v = v_oe^-$\beta$tcos($$\omega$$t) = v_oe^-$\beta$tcos($${\frac{{2 \pi}}{{t_o}}}$$t)

    pri tem je v_o začetna hitrost, $\beta$ koeficient dušenja;

    prvi del enačbe v = v_oe^-$\beta$t nam pove, kako se spreminja amplituda hitrosti, drugi del cos($\omega$t) pa govori o nihanju!

    potem spreminjanje kinetične energije opiše enačba:

    W_k = $${\frac{{1}}{{2}}}$$mv² = $${\frac{{1}}{{2}}}$$m$$\left(\vphantom{v_o e^{-\beta t} \cos(\omega t)}\right.$$v_oe^-$\beta$tcos($$\omega$$t)$$\left.\vphantom{v_o e^{-\beta t} \cos(\omega t)}\right)^{2}_{}$$ =

    = $${\frac{{1}}{{2}}}$$mv_o²e^-2$\beta$tcos²($$\omega$$t) = W_oe^-2$\beta$tcos²($$\omega$$t)

    kjer je W_o začetna kinetična energija, člen e^-2$\beta$t opisuje eksponentno manjšanje skupne (in s tem tudi največje kinetične) energije, člen cos²($\omega$t) pa osciliranje trenutne kinetične energije.

    sedaj pa k reševanju

    največja kinetična energija eksponentno pada: W₍ko) = W_oe^-2$\beta$t

    torej je: ${\frac{{W_{ko}}}{{W_o}}}$ = e^-2$\beta$t

    ln$${\frac{{W_{ko}}}{{W_o}}}$$ = - 2$$\beta$$t

    $$\beta$$ = - $${\frac{{1}}{{2t}}}$$ln$${\frac{{W_{ko}}}{{W_o}}}$$

    uporabim pravilo za logaritmiranje: -ln(1/a) = ln a)

    $$\beta$$ = $${\frac{{1}}{{2t}}}$$ln$${\frac{{W_o}}{{W_{ko}}}}$$

    $$\beta$$ = $${\frac{{1}}{{2\cdot5s}}}$$ln$${\frac{{200mJ}}{{100mJ}}}$$ = 0, 0693s^-1

    narišimo grafa

    W_ko = W_oe^-2$\beta$t in W_k = W_oe^-2$\beta$tcos²($\omega$t)

    W_k = W₁ = 200mJ = 0, 2J S tem je mišljena maksimalna W_k, ko ima nihalo največjo hitrost.

    W₂ = 100mJ = 0, 1J

    Ker poznamo enačbo za dušeno nihanje v = v₀ ^. e^-$\beta$tcos($\omega$ ^. t), lahko rečemo tudi: v₀ = v₀ ^. e^-$\beta$tcos($\omega$ ^. t). Vendar pa, ko je t = 0 dobimo preprosto v₀ = v₀ (cos 0 = 1 in e⁰ = 1). Torej sledi:

    W_k = ${\frac{{1}}{{2}}}$m ^. v₀²

    0, 2J = m ^. v₀²/2 ...Masa uteži ostaja enaka...torej jo lahko črtamo. Ob črtanju mase moramo upoštevati, da se tudi enote krajšajo.Lahko jo tudi pustite, saj se v naslednji enačbi krajša.

    v₀ = 0, 63m/s

    Potem pa izračunamo še za energijo po 5s. In uporabimo W_k = W₂

    Za nihajni čas, ki se ne spreminja ne glede na amplitudo odmika, pogojen je namreč le s težnim pospeškom in dolžino nihala(pri nitnem nihalu), vzamemo t₀ = 5s.

    W₂ = ${\frac{{1}}{{2}}}$m ^. v₀²

    W₂ = ${\frac{{1}}{{2}}}$m ^. v₀^{2 .} e^{-2$\beta$t .} cos²($\omega$t)

    0, 1J = (m ^. 0, 4m²/s^{2 .} e^{-2$\beta$5s .} cos²((2$\pi$ ^. 5s)/(5s)))/2 ...Maso ponovno črtamo. cos pa je enak ena, saj vemo da je periodičen na 2$\pi$.

    0, 5s = e^-$\beta$10s ...Za tiste , ki jim logaritmi niso povsem jasni.

    0, 5s = e^{$\beta$ .} e^-10

    ln e^$\beta$ = ln${\frac{{0,5}}{{e^{-10}}}}$

    $\beta$ = 9, 3E

    Končno rezultat.

    Pol je treba pa še narisat. Če slučajno bere to kdo, ki ima Derive ali kak programček za risanje grafov, bi ga prosil, da doda graf. Hvala!!!

    hmmm...po moje je treba najprej popraviti rešitev!

    $$\beta$$ = $${\frac{{1}}{{2t}}}$$ln$${\frac{{W_o}}{{W}}}$$ = $${\frac{{1}}{{t}}}$$ln$$\sqrt{{\frac{W_o}{W}}}$$

    tako je $\beta$ = 0, 69s^-1

18. Nihalo, ki niha dušeno, ima na začetku amplitudo 20 cm. Kolikšen je koeficient dušenja, če ima po 25 s amplitudo 1 cm? Nariši kako se spreminja amplituda v odvisnosti od časa in kako odmik v odvisnosti od časa, če je nihajni čas 5 s!

    Rp:

    $\beta$ = 0, 072s^-1

19. Nihalo, ki niha dušeno, ima na začetku amplitudo 30 cm. Kolikšen je koeficient dušenja, če ima po 25 s amplitudo 5 cm? Nariši kako se spreminja amplituda v odvisnosti od časa in kako odmik v odvisnosti od časa, če je nihajni čas 5 s!

    Rp:

    $\beta$ = 0, 12s^-1

20. Koliko je razmerje med kinetično in prožnostno energijo vzmetnega nihala, ko je odmik enak polovici največjega odmika? Kdaj se to zgodi?

    Rp:

    W_k/W_pr = ?

    x = x_o/2

    m ^. v²/2 = k ^. x²/2

    m ^. v_o^{2 .} cos($\omega$t) = k ^. x_o²/4 = >

    = > W_k = 4W_pr

    hmmm...nekaj nagaja - gam neki je izginil člen cos($\omega$t)

    m ^. v_o^{2 .} cos($\omega$t) = k ^. x_o²/4

    ker je v_o² = $\omega^{2}_{}$x_o² in $\omega^{2}_{}$ = k/m

    vstavimo, pokrajšamo in ugotovimo, da je cos($\omega$t) = 1/4

    medtem, ko enačba x = x_o/2 pravi, da je sin($\omega$t) = 1/2

    skratka pravilneje bi bilo:

    m ^. v_o^{2 .} cos²($\omega$t) = k ^. x_o²/4

    ...

    =============================

    glavna težava pa je v začetni preambuli W_k = W_pr, ker energiji nista enaki, ampak nas zanima, koliko je W_k/W_pr = ?

    imamo dve možnosti:

    1. začnemo z energijami: ker je x = ${\frac{{x_o}}{{2}}}$ ali ${\frac{{x}}{{x_o}}}$ = ${\frac{{1}}{{2}}}$, mora biti razmerje med trenutno prožnostno energijo in skupno energijo (največjo prožnostno):

    $${\frac{{W_{pr}}}{{W_o}}}$$ = $${\frac{{1}}{{4}}}$$

    , saj je energija sorazmerna s kvadratom odmika!

    To pomeni, da je skupna energija 4 krat večja kot prožnostna.

    Po drugi strani pa vemo, da je vsota kinetične in prožnostne energije v kateremkoli trenutku enaka skupni energiji. Z drugimi besedami: ker je W_k = W_o + W_pr, lahko sklepamo, da je razmerje med kinetično energijo in skupno energijo:

    $${\frac{{W_{k}}}{{W_o}}}$$ = $${\frac{{3}}{{4}}}$$

    !

    Tako ugotovimo, da je kinetična energija 3 krat večja, če je odmik enak polovici amplitude! Ali:

    $${\frac{{W_k}}{{W_{pr}}}}$$ = $${\frac{{3}}{{1}}}$$

    2. začnemo s podatkom x = ${\frac{{x_o}}{{2}}}$

    ker mora hkrati veljati x = x_osin($\omega$t) (če nihalo začnemo opazovati v ravnovesni legi), hitro izračunamo, da je

    $${\frac{{x}}{{x_o}}}$$ = sin($$\omega$$t) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$

    oziroma

    $$\omega$$t = $${\frac{{\pi}}{{6}}}$$

    potem pogledamo, kako je z razmerjem kinetične in prožnostne energije v tem trenutku:

    $${\frac{{W_k}}{{W_{pr}}}}$$ = $${\frac{{\frac{mv^2}{2}}}{{\frac{kx^2}{2}}}}$$ =

    = $${\frac{{m \omega^2 x_o^2 \cos^2(\omega t)}}{{kx_o^2\sin^2(\omega t)}}}$$ = $${\frac{{\cos^2\frac{\pi}{6}}}{{\sin^2\frac{\pi}{6}}}}$$ = $$\left(\vphantom{\sqrt{3}}\right.$$$$\sqrt{{3}}$$$$\left.\vphantom{\sqrt{3}}\right)^{2}_{}$$ = 3

21. Kolikšen del amplitude odmika je odmik v trenutku, ko je kinetična energija vzmetnega nihala enaka prožnostni energiji? Kdaj se to zgodi?

    Rp:

    To se zgodi ob času:

    W_k = W_pr

    m ^. v²/2 = k ^. x²/2

    Uporabim enačbe za začetek nihanja v RL:

    v = v_ocos($\omega$ ^. t)

    x = x_osin($\omega$ ^. t)

    vem pa tudi da je:

    v_o = $\omega$ ^. x_o

    k(kg/s²) = > t_o = 2$\pi$ ^. (m/k)^1/2 =>

    => k = 4$\pi^{{2}}_{}$ ^. m/t_o²

    sledi:

    m ^. v_o^{2 .} cos²($\omega$ ^. t) = k ^. x_o^{2 .} sin²($\omega$ ^. t)

    m ^. x_o^{2 .} $\omega^{{2}}_{}$ ^. cos²($\omega$ ^. t) = k ^. x_o^{2 .} sin²($\omega$ ^. t)

    m ^. $\omega^{{2}}_{}$/k = sin²($\omega$ ^. t)/cos²($\omega$ ^. t)

    m ^. (2$\pi$/t_o)²/4$\pi^{{2}}_{}$ ^. m/t_o² = tg²($\omega$ ^. t)

    1 = tg($\omega$ ^. t) ...pazi ali računaš v radianih ali stopinjah

    pi/4 = (t ^. 2$\pi$)/t_o

    t = t_o/8

    oziroma kot ste lahko sklepali brez tega računa na polovici časa med RL in SL

    x = x_o ^. sin($\omega$ ^. t)

    x = x_o ^. sin((2$\pi$/t_o) ^. (t_o/8))

    x = x_o ^. sin(pi/4)

    x = 0.87 ^. x_o...ali...x = x_o ^. 3^1/2/2

    lahko bi poskusili tudi takole:

    ker je: W_k = W_pr in je W_o = W_k + W_pr, sklepamo, da je:

    W_o = 2W_pr, oziroma

    $${\frac{{W_{pr}}}{{W_o}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$

    če velja, da se odmik spreminja: x = x_osin($\omega$ ^. t)

    potem se prožnostna energija spreminja:

    W_pr = $${\frac{{kx^2}}{{2}}}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$k$$\left(\vphantom{ x_o \sin(\omega\cdot t)}\right.$$x_osin($$\omega$$ ^. t)$$\left.\vphantom{ x_o \sin(\omega\cdot t)}\right)^{2}_{}$$ = $${\frac{{1}}{{2}}}$$kx_o²sin²($$\omega$$ ^. t)

    zato je razmerje energij

    $${\frac{{W_{pr}}}{{W_o}}}$$ = $${\frac{{\frac{1}{2} k x_o^2 \sin^2(\omega\cdot t)}}{{\frac{1}{2} kx_o^2}}}$$

    ali

    sin²($$\omega$$ ^. t) = $${\frac{{1}}{{2}}}$$

    korenimo:

    sin($$\omega$$ ^. t) = $$\pm$$$$\sqrt{{\frac{1}{2}}}$$

    negativne rešitve nas ne zanimajo, ker čas ne teče nazaj!

    ostane nam sin($\omega$ ^. t) = $\sqrt{{1/2}}$ = ${\frac{{\sqrt{2}}}{{2}}}$

    oziroma $\omega$ ^. t = ${\frac{{\pi}}{{4}}}$

    ker je: $\omega$ = ${\frac{{2 \pi}}{{t_o}}}$

    poiščemo še čas:

    $${\frac{{\pi}}{{4}}}$$ = $$\omega$$ ^. t = $${\frac{{2 \pi}}{{t_o}}}$$         $$\Rightarrow$$         t = $${\frac{{t_o}}{{8}}}$$

    mogoče malo krajše ali pa tudi ne ;)

22. Izpelji diferencialno enačbo dušenega nihanja vzmetnega nihala! Upoštevaj, da je sila upora sorazmerna s hitrostjo in maso!

23. Telo z maso 50g niha sinusno z amplitudo 20 mm in s frekvenco 2 Hz.

    a)

    V kateri legi je njegova hitrost največja?

    b)

    Kolikšna je ta največja hitrost?

    c)

    Kolikšna sila pospešuje telo, ko je hitrost največja?

    d)

    V kateri legi je pospešek največji?

    e)

    Kolikšen je največji pospešek?

    f)

    Izračunaj pospešek telesa, ko je odmik 12 mm (začetna lega je ravnovesna)!

    g)

    V kolikšnem času se telo premakne iz ravnovesne lege v točko, ki je za 12 mm oddaljena od ravnovesne lege?

    h)

    Nariši graf kinetične energije v odvisnosti od časa, če je nihalo na začetku v ravnovesni legi! Graf označi!!

24. Telo z maso 100g niha sinusno z amplitudo 40 mm in z nihajnim časom 0, 25 s.

    a)

    V kateri legi je njegova hitrost največja?

    b)

    Kolikšna je ta največja hitrost?

    c)

    Kolikšna sila pospešuje telo, ko je hitrost največja?

    d)

    V kateri legi je pospešek največji?

    e)

    Kolikšen je največji pospešek?

    f)

    Izračunaj pospešek telesa, ko je odmik 12 mm (začetna lega je ravnovesna)!

    g)

    V kolikšnem času se telo premakne iz ravnovesne lege v točko, ki je za 12 mm oddaljena od ravnovesne lege?

    h)

    Nariši graf kinetične energije v odvisnosti od časa, če je nihalo na začetku v skrajni legi! Graf označi!!

25. Nitno nihalo z dolžino l niha z nihajnim časom t_o pri majhni amplitudi. Kako se spremeni nihajni čas, če vrvico podaljšamo na 4l (4x podaljšamo)? Nariši graf nihajnega časa v odvisnosti od dolžine nihala!

    Rp:

    nihajni čas se zveča za $\sqrt{{4}}$ = 2.

26. Nitno nihalo z dolžino l niha z nihajnim časom t_o pri majhni amplitudi. Kako se spremeni nihajni čas, če vrvico podaljšamo na 5l (5x podaljšamo)? Nariši graf nihajnega časa v odvisnosti od dolžine nihala in ga označi!

27. Nitno nihalo z dolžino l niha s frekvenco $\nu_{o}^{}$ pri majhni amplitudi. Kako se spremeni frekvenca, če vrvico podaljšamo na 6l (6x podaljšamo)? Nariši graf frekvence v odvisnosti od dolžine nihala!

28. Vzmetno nihalo ima na vzmeti utež z maso m in niha z nihajnim časom t_o. Kako se spremeni nihajni čas, če maso uteži povečamo na 4m (4x povečamo)? Nariši graf nihajnega časa v odvisnosti od mase uteži!

    Rp:

    nihajni čas se zveča za $\sqrt{{4}}$ = 2.

29. Vzmetno nihalo ima na vzmeti utež z maso m in niha z nihajnim časom to . Kako se spremeni nihajni čas, če maso uteži povečamo na 7m (7x povečamo)? Nariši graf nihajnega časa v odvisnosti od mase uteži in ga označi!

30. Vzmetno nihalo ima na vzmeti utež z maso m in niha z nihajnim časom t_o . Kako se spremeni frekvenca, če maso uteži povečamo na 4m(4x povečamo)? Nariši graf frekvence v odvisnosti od mase uteži!

31. Vzmetno nihalo z maso uteži m, niha z s frekvenco $\nu_{o}^{}$ pri majhni amplitudi. Kako se spremeni frekvenca, če maso uteži povečamo na 5m (5x povečamo maso)? Nariši graf frekvence v odvisnosti od mase uteži !